Calcular el determinante de una matriz 3×3 con la Regla de Sarrus

En esta página aprenderás qué es el determinante de una matriz cuadrada 3×3. Verás cómo resolver los determinantes de orden 3 mediante la Regla de Sarrus. Y, además, tienes ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso, para que puedes practicar y entenderlo perfectamente.

¿Qué es el determinante de una matriz 3×3?

Un determinante de orden 3 es una matriz de dimensión 3×3 representada con una barra vertical a cada lado de la matriz. Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:

 \displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2  \end{pmatrix}

El determinante de la matriz A se representa de la siguiente forma:

\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}

Como has visto, escribir el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es sencillo. Ahora vamos a ver cómo resolverlo:

¿Cómo calcular un determinante de orden 3?

Para hacer los determinantes de las matrices 3×3 debemos aplicar la Regla de Sarrus:

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus dice que para calcular un determinate de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos. 

Así escrito puede resultar un poco difícil de entender, pero fíjate cómo se hace el cálculo de determinantes 3×3 con el siguiente diagrama y los ejemplos:

 

 

 

Ejemplos de determinantes 3×3:

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}

Ejercicios resueltos de determinantes de matrices 3×3

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente determinante 3×3:

ejemplo resuelto del determinante de una matriz 3x3

Para resolver el determinante de una matriz 3×3 tenemos que aplicar la regla de Sarrus:

 \displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}

 

Ejercicio 2

Calcula el siguiente determinante de orden 3:

ejercicio resuelto paso a paso del determinante de una matriz 3x3

Para calcular el determinante de una matriz de tercer orden debemos utilizar la regla de Sarrus:

 \displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}

 

Ejercicio 3

Halla la solución del determinante de la siguiente matriz de dimensión 3×3:

ejercicios resueltos paso a paso de determinantes de matrices 3x3

Para hacer un determinante de una matriz 3×3 tenemos que usar la regla de Sarrus:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}

 

Ejercicio 4

Encuentra la solución del determinante de la siguiente matriz de orden 3:

ejercicio resuelto de un determinante de una matriz 3x3

Para hallar la solución de un determinante de una matriz 3×3 tenemos que aplicar la fórmula de Sarrus:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}

 

Ejercicio 5

Halla el valor de   a que anula el siguiente determinante de tercer orden:

ejercicios resueltos paso a paso de determinantes de orden 3

Primero calculamos, con la regla de Sarrus, el valor del determinante en función de   a :

\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}

Para que se anule el determinante, el resultado tiene que ser 0. Por tanto, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:

28a-28=0

 28a=28

 a=\cfrac{28}{28} = \bm{1}

 

6 comentarios en “Calcular el determinante de una matriz 3×3 con la Regla de Sarrus”

  1. GRACIAS. ALTAMENTE PEDAGÓGICO. TENGO 82 AÑOS, ESTOY AYUDANDO A UN SOBRINO Y ENCONTRÉ AQUÍ UNA EXPLICACIÓN SENCILLA.

  2. Excelente información, me sirve para simplificar mis clases y poder explicar de forma sencilla a mis estudiantes, en los libros es más complejo. muy clara la explicación y los ejercicios, gracias!

    1. Matrices y Determinantes

      Hola Valentina, la regla de Sarrus también sirve para calcular el determinante de una matriz 4×4, sin embargo, para hallar determinantes 4×4 te recomiendo que lo hagas por adjuntos (o cofactores) ya que seguramente es más rápido. Puedes consultar cómo se hace buscando la página en el buscador de arriba.

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