En esta página aprenderás qué es el determinante de una matriz cuadrada 3×3. Verás cómo resolver los determinantes de orden 3 mediante la Regla de Sarrus. Y, además, tienes ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso, para que puedes practicar y entenderlo perfectamente.
¿Qué es el determinante de una matriz 3×3?
Un determinante de orden 3 es una matriz de dimensión 3×3 representada con una barra vertical a cada lado de la matriz. Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:
![\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c6fdd5449d6fe2f909f1e0ce5cd12695_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
El determinante de la matriz A se representa de la siguiente forma:
![\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fabd49257cd9c6bc47dbe04aadd1080_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como has visto, escribir el determinante de una matriz cuadrada de orden 3 es sencillo. Ahora vamos a ver cómo resolverlo:
¿Cómo calcular un determinante de orden 3?
Para hacer los determinantes de las matrices 3×3 debemos aplicar la Regla de Sarrus:
Regla de Sarrus
La regla de Sarrus dice que para calcular un determinate de orden 3 tenemos que sumar el producto de los elementos de la diagonal principal y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos, y luego restar el producto de los elementos de la diagonal secundaria y el producto de sus diagonales paralelas con sus correspondientes vértices opuestos.
Así escrito puede resultar un poco difícil de entender, pero fíjate cómo se hace el cálculo de determinantes 3×3 con el siguiente diagrama y los ejemplos:
Ejemplos de determinantes 3×3:
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-671bc5562bece2ccd18bc8923b5b1e4c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-deac6161beadf417fc7589839329864f_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicios resueltos de determinantes de matrices 3×3
Ejercicio 1
Resuelve el siguiente determinante 3×3:
Para resolver el determinante de una matriz 3×3 tenemos que aplicar la regla de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-47b88f6d98bd12311e1b0dd9346a51da_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicio 2
Calcula el siguiente determinante de orden 3:
Para calcular el determinante de una matriz de tercer orden debemos utilizar la regla de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1adf9a8b80fb1c16e5f837c818badcb_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicio 3
Halla la solución del determinante de la siguiente matriz de dimensión 3×3:
Para hacer un determinante de una matriz 3×3 tenemos que usar la regla de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ab7bae055ab083fad77a0cc73ebc37fc_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicio 4
Encuentra la solución del determinante de la siguiente matriz de orden 3:
Para hallar la solución de un determinante de una matriz 3×3 tenemos que aplicar la fórmula de Sarrus:
![\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5719d654c2eaea09b6823b94757941d2_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejercicio 5
Halla el valor de 
que anula el siguiente determinante de tercer orden:
Primero calculamos, con la regla de Sarrus, el valor del determinante en función de 
![\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-71adc1bb9cd65369c04deccb5602eb9d_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Para que se anule el determinante, el resultado tiene que ser 0. Por tanto, igualamos el resultado obtenido a 0 y resolvemos la ecuación:
GRACIAS. ALTAMENTE PEDAGÓGICO. TENGO 82 AÑOS, ESTOY AYUDANDO A UN SOBRINO Y ENCONTRÉ AQUÍ UNA EXPLICACIÓN SENCILLA.
Muchas gracias por tu comentario Jose, nos alegra que te hayamos podido ayudar. ¡Todo un placer!
Excelente información, me sirve para simplificar mis clases y poder explicar de forma sencilla a mis estudiantes, en los libros es más complejo. muy clara la explicación y los ejercicios, gracias!
¡Muchas gracias Eunice! Esperamos que les sea útil a tus alumnos. 😉
Se puede usar para matrices de cualquier orden o solo de 3×3?
Hola Valentina, la regla de Sarrus también sirve para calcular el determinante de una matriz 4×4, aunque entonces la regla cambia un poco y se complica. Por eso, para hallar determinantes 4×4 te recomiendo que lo hagas por adjuntos (o cofactores) ya que seguramente es más rápido. Puedes consultar cómo se hace buscando la página en el buscador de arriba.
Resulta muy útil ya que es claro, los ejercicios ayudan y en mi caso apoyo a mi hija con sus clases virtuales. Les agradezco.
¡Gracias Fernando! Esperamos que os vaya bien tanto a ti como a tu hija. 😉
Muchas gracias por subir la información, se aprecia bastante su esfuerzo.
¡Muchas gracias Juan! ¡Todo un placer!
Estaba estudiando el método de sarrus, y me fije que en la ultima pregunta 16a + 20 + (-12) da como resultado 24
y 20 – 16 + 12a da 16
Estoy haciendo los cálculos mal? o hay algo que no estoy captando en esa parte?
Agradeceria una respuesta temprana
Hola Millo, hemos repasado el ejercicio y está bien hecho. Creo que tu error está en que
y, por otro lado, 
, ya que no se pueden sumar los términos con incógnita y los términos sin incógnita.
¡Cualquier otra duda nos dices!
la determinante de una matriz puede tener distintos resultados dependiendo del método empleado para hallarla o siempre debe dar el mismo resultado sin importar el método con que la resuelvas ??
Hola Jean, buena pregunta.
El resultado del determinante no varia independientemente del método usado, siempre y cuando el método sea correcto.
Me resulta bastante instructivo, la verdad me ha ayudado a comprender mejor este contenido que con las explicaciones en la escuela, muchas gracias!!!
¡Me alegro mucho Dayron! ¡Muchas gracias por tu comentario!
Muy explicitas las explicaciones, me ayudo a comprender las operaciones con determinantes, tengo 77 años, estoy en un curso de matemáticas en edx, gracias estoy muy agradecido y satisfechos.
¡Muchas gracias Rolando! ¡Nunca es tarde para aprender! 💪
Buenas noches, las matrices determinantes calculadas por el método de sarrus siempre están compuestas por números positivos y negativos o pueden ser solo números positivos?
Hola Mayra,
El método de Sarrus funciona tanto con números positivos como con números negativos. De modo que siempre se puede usar la regla de Sarrus para solucionar un determinante 3×3, tanto si está compuesto solamente por números positivos, solo números negativos o ambos.