Matriz Singular o Degenerada

En esta página verás qué significa que una matriz sea singular o degenerada. Además te enseñamos varios ejemplos para que no te quede ninguna duda y, por último, explicamos todas las propiedades de este tipo de matriz.

¿Qué es una matriz singular o degenerada?

La definición de matriz singular, también conocida como matriz degenerada, es la siguiente:

Una matriz singular o degenerada es una matriz cuadrada que no se puede invertir y que, por lo tanto, su determinante es igual a 0.

Entonces, para saber cuándo una matriz es singular tan solo hace falta calcular su determinante: si el resultado es 0 la matriz es singular, en cambio, si el determinante es diferente de 0 la matriz no es singular.

Si quieres saber más sobre las matriz inversa, puedes consultar esta página donde se explica detalladamente cómo invertir una matriz por el método de Gauss, además encontrarás varios ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso para poder practicar.

Por otro lado, a las matrices singulares también se les llama matrices no regulares, porque significan justamente todo lo contrario que la matriz regular.

Ejemplos de matrices singulares

Una vez visto la explicación de matriz singular o degenerada, veamos algunos ejemplos de matrices singulares de varias dimensiones:

Ejemplo de matriz singular 2×2

ejemplo de matriz singular o degenerada de dimension 2x2

Podemos comprobar fácilmente que es una matriz singular calculando su determinante:

 \displaystyle\begin{vmatrix} 2&1 \\[1.1ex] 4 & 2\end{vmatrix}\bm{=0}

El determinante de la matriz de orden 2 es igual a 0, por lo que es una matriz singular

Ejemplo de matriz singular 3×3

ejemplo de matriz singular o degenerada de dimension 3x3

Debemos resolver el determinante de la matriz para verificar que es una matriz no invertible:

 \displaystyle\begin{vmatrix} 1&3&0\\[1.1ex] 4&7&2\\[1.1ex] 3&4&2\end{vmatrix}\bm{=0}

El determinante de la matriz de orden 3 da como resultado 0, por lo tanto, se trata de una matriz singular.

Ejemplo de matriz singular 4×4

ejemplo de matriz singular o degenerada de dimension 4x4

Al hacer el determinante de la matriz se demuestra que se trata de una matriz singular:

 \displaystyle\begin{vmatrix} 2&1&4&-1\\[1.1ex] 3&-2&1&0\\[1.1ex] 5&1&-3&2\\[1.1ex] -1&3&3&-1\end{vmatrix}\bm{=0}

El determinante de la matriz de orden 4 es nulo, así que no existe su matriz inversa.

Atención: Si tienes dudas sobre los cálculos de los determinantes, puedes consultar la página de cómo calcular un determinante.

Propiedades de las matrices singulares

Las características de este tipo de matrices son las siguientes:

  • Como mínimo dos columnas o dos filas de una matriz singular son combinación lineal y, por tanto, son linealmente dependientes.
  • Cualquier matriz que contenga una fila o una columna llena de ceros es una matriz singular.
  • El rango de una matriz singular o degenerada es menor que su tamaño.
  • El producto matricial de una matriz singular multiplicada por cualquier otra matriz da como resultado otra matriz singular. Esta condición se puede deducir de las propiedades de los determinantes:

  \text{det}(AB) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)=0 \cdot \text{det}(B) = 0

  • Del mismo modo, la potencia de una matriz singular es igual a otra matriz singular, independientemente del exponente al que esté elevada.
  • La transposición de una matriz singular da lugar a otra matriz singular, ya que el determinante de una matriz traspuesta (o transpuesta) es equivalente al determinante de la matriz sin transponer:

  \text{det}(A^t) = \text{det}(A)=0

  • Multiplicar una matriz singular por un escalar no modifica su condición de matriz degenerada.
  • Las matrices triangulares y las matrices diagonales son matrices degeneradas si al menos un elemento de su diagonal principal es cero.
  • Evidentemente, la matriz nula es una matriz singular.
  • De la misma forma, una matriz nilpotente también es una matriz singular.
  • Un sistema de ecuaciones lineales asociado a una matriz singular no tiene solución o tiene infinitas soluciones.
  • Finalmente, una matriz cuadrada es singular si y solo si tiene como mínimo un valor propio (o autovalor) igual a 0.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba