Matriz diagonal

En esta página verás qué es una matriz diagonal y ejemplos de matrices diagonales. Además, encontrarás cómo operar con este tipo de matrices, cómo calcular sus determinantes fácilmente y cómo invertirlas. También hay las propiedades y las aplicaciones de las matrices diagonales. Y, finalmente están las explicaciones de una matriz bidiagonal y una matriz tridiagonal.

¿Qué es una matriz diagonal?

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no son de la diagonal principal son cero (0). Los elementos de la diagonal principal pueden ser nulos o no.

Una vez sabemos la definición exacta de matriz diagonal, vamos a ver ejemplos de matrices diagonales:

Ejemplos de matrices diagonales

Ejemplo de matriz diagonal de dimensión 2×2

ejemplo de matriz diagonal 2x2

Ejemplo de matriz diagonal de orden 3×3

ejemplo de matriz diagonal 3x3

Ejemplo de matriz diagonal de tamaño 4×4

ejemplo de matriz diagonal 4x4

Este tipo de matrices se suelen escribir indicando los elementos de la diagonal:

 diag(2,5,1) = \left. \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 5 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Operaciones con matrices diagonales

Una de las razones por las que las matrices diagonales son tan importantes para el álgebra lineal es la facilidad con la que permiten realizar cálculos. Por eso son tan utilizadas en las matemáticas.

Suma y resta de matrices diagonales

La suma (y la resta) de dos matrices diagonales es muy sencilla: simplemente hay que sumar (o restar) los números de las diagonales.

 \displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \pm \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\pm b_1,..., a_n\pm b_n)

Por ejemplo:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6& 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Multiplicación de matrices diagonales

Para resolver una multiplicación o un producto matricial de dos matrices diagonales tan solo tenemos que multiplicar los elementos de las diagonales entre sí.

 \displaystyle \text{diag}(a_1,... ,a_n) \cdot \text{diag}(b_1 ,... , b_n) = \text{diag}(a_1\cdot b_1,..., a_n\cdot b_n)

Por ejemplo:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -18 \end{pmatrix}

Potencia de matrices diagonales

Para calcular la potencia de una matriz diagonal debemos elevar cada elemento de la diagonal al exponente:

 \displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)

 \displaystyle A^k= \text{diag}(a_1^k,... ,a_n^k)

Por ejemplo:

 \displaystyle\left. \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}\right.^3= \begin{pmatrix} 27 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 8 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 64 \end{pmatrix}

Determinante de una matriz diagonal

El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal principal.

 \displaystyle A= \text{diag}(a_1,... ,a_n)

 \displaystyle \text{det}(A)= \prod_{i =1}^n a_i

Fíjate en el siguiente ejercicio resuelto en el que hallamos el determinante de una matriz diagonal simplemente multiplicando los elementos de su diagonal principal:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 5 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 5 \cdot 2 \cdot 3 = 30

Este teorema es fácil de demostrar: únicamente tenemos que calcular el determinante de una matriz diagonal por bloques (o cofactores). A continuación se detalla esta demostración mediante una matriz diagonal genérica:

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & b & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & c \end{vmatrix}&  = a \cdot \begin{vmatrix} b & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & c \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & b \\[1.1ex] 0 & 0 \end{vmatrix} \\[2ex] & =a \cdot (b\cdot c) - 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 \\[2ex] & = a \cdot b \cdot c \end{aligned}

Invertir una matriz diagonal

Una matriz diagonal es invertible si, y solo si, todos los elementos de la diagonal principal son diferentes de 0. En dicho caso decimos que la matriz diagonal es una matriz regular.

Además, la inversa de una matriz diagonal siempre será otra matriz diagonal con los inversos de la diagonal principal:

 \displaystyle A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}  \ \longrightarrow \ A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}

A partir de la característica anterior, se puede deducir que el determinante de la inversa de una matriz diagonal es el producto de los inversos de la diagonal principal:

 \displaystyle B= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

 \displaystyle\left| B^{-1}\right|=\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{4} \cdot \cfrac{1}{-1}=-\cfrac{1}{8} = -0,125

Propiedades de las matrices diagonales

  • La matriz identidad se trata de una matriz diagonal:

 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

  • Del mismo modo, la matriz nula también es una matriz diagonal, porque todos sus elementos que no están en la diagonal son ceros. Aunque los números de la diagonal sí sean 0.

  \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

  • Los valores propios (o autovalores) de una matriz diagonal son los elementos de su diagonal principal.

 \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda = 3 \ ; \ \lambda = 4 \ ; \ \lambda = 7

  • Una matriz cuadrada es diagonal si, y solo si, es triangular y normal.
  • La adjunta de una matriz diagonal es otra matriz diagonal.

Aplicaciones de la matriz diagonal

Como hemos visto, resolver cálculos con matrices diagonales es muy sencillo, ya que intervienen muchos ceros en las operaciones. Por esa razón son muy útiles en el campo de las matemáticas y se utilizan tanto.

Por este mismo motivo se han hecho tantos estudios de cómo diagonalizar una matriz y, de hecho, hasta se ha llegado a un método para la diagonalización de matrices (mediante el polinomio característico).

Por lo tanto, las matrices diagonalizables también son bastante relevantes. Al igual que el teorema de descomposición espectral, que nos establece las condiciones de cuándo una matriz puede ser diagonalizada y cuándo no.

Matriz bidiagonal

Una matriz bidiagonal es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no son de la diagonal principal o de la diagonal superior o inferior son 0.

Por ejemplo:

  \begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & -5 & 1 \\[1.1ex] 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}

Matriz bidiagonal superior

  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 6 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 7 & 4 \end{pmatrix}

Matriz bidiagonal inferior

Cuando está ocupada la diagonal principal y la primera superdiagonal se denomina matriz bidiagonal superior. Por contra, cuando está ocupada la diagonal principal y la primera subdiagonal se llama matriz bidiagonal inferior.

Matriz tridiagonal

Una matriz tridiagonal es una matriz cuadrada cuyos únicos elementos diferentes de cero son los de la diagonal principal y de las diagonales adyacentes por arriba y por debajo.

Por ejemplo:

  \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0  \\[1.1ex] -4 & 5 & 9 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 6 & -2 \\[1.1ex] 0 & 0 & 8 & 7 \end{pmatrix}

Por tanto, todas las matrices diagonales, bidiagonales y tridiagonales son ejemplos de matrices banda. Porque una matriz banda es aquella matriz que tiene todos sus elementos no nulos alrededor de la diagonal principal.

4 comentarios en “Matriz diagonal”

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba