Calcular el rango de una matriz por determinantes

En esta página verás qué es y cómo calcular el rango de una matriz por determinantes. Además, encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos para que aprendas a hallar el rango de una matriz fácilmente. A parte, también verás las propiedades del rango de una matriz.

¿Qué es el rango de una matriz?

La definición de rango de una matriz es la siguiente:

El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es diferente de 0.

En esta página aprenderemos a saber cuál es el rango de una matriz por el método de los determinantes, pero también se puede determinar el rango de una matriz por el método de Gauss, aunque es más lento y complicado.

Una vez ya sabemos que es el rango de una matriz, vamos a ver como hallar el rango de una matriz por determinantes. Pero ten en cuenta que para poder resolver el rango de una matriz debes saber primero como calcular determinantes 3×3.

¿Cómo saber el rango de una matriz? Ejemplo:

  • Calcula el rango de la siguiente matriz de dimensión 3×4:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1  \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Siempre empezaremos mirando si la matriz es de rango máximo resolviendo el determinante de orden más grande. Y, si el determinante de ese orden es igual a 0, iremos probando determinantes de orden menor hasta encontrar uno que sea distinto de 0.

En este caso, se trata de una matriz de dimensión 3×4. Por tanto, como máximo será de rango 3, ya que no podemos hacer ningún determinante de orden 4. Así que cogemos cualquier submatriz 3×3 y miramos si su determinante es 0. Por ejemplo, resolvemos el determinante de las 3 primeras columnas con la regla de Sarrus:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1   \\[1.1ex] 3 & -1 & 7  \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

El determinante de las columnas 1, 2 y 3 es 0. Así que ahora tenemos que probar con otro determinante, por ejemplo el de las columnas 1, 2 y 4:

     \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1   \\[1.1ex] 3 & -1 & 2  \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

También nos ha dado 0. Así que seguimos probando determinantes de orden 3 para ver si hay alguno distinto de 0. Probamos ahora el determinante formado por las columnas 1, 3 y 4:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &  &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &  -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1   \\[1.1ex] 3 & 7 & 2  \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

De determinantes de orden 3 solo nos queda por intentar el determinante compuesto por las columnas 2, 3 y 4:

    \left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\  & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle   \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex]  2 & 1 & -1  \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

Ya hemos probado todos los determinantes 3×3 posibles de la matriz A, y como ninguno de esos es diferente de 0, la matriz no es de rango 3. Por tanto, como máximo, será de rango 2.

 \displaystyle  rg(A) < 3

Ahora vamos a ver si la matriz es de rango 2. Para ello, tenemos que encontrar una submatriz cuadrada de orden 2 cuyo determinante sea diferente de 0. Probaremos con la submatriz 2×2 de la esquina superior izquierda:

    \left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4  & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 &  1 & -1 &  & & \\[-2ex] 3 & -1 &  7 & 2                    \end{tabular} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2  \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Hemos encontrado un determinante de orden 2 diferente de 0 dentro de la matriz. Por tanto, la matriz es de rango 2:

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

Ejercicios resueltos de rango de una matriz

Ejercicio 1

Determina el rango de la siguiente matriz de dimensión 2×2:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6  \end{pmatrix}

Primero calculamos el determinante de toda la matriz:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}

Hemos encontrado un determinante de orden 2 diferente de 0. Por tanto, la matriz es de rango 2.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

 

Ejercicio 2

Halla el rango de la siguiente matriz de dimensión 2×2:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6  \end{pmatrix}

En primer lugar, resolvemos el determinante de toda la matriz:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}

El único determinante 2×2 posible da 0, por lo que la matriz no es de rango 2.

Pero dentro de la matriz sí que hay determinantes 1×1 distintos de 0, por ejemplo:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 2  \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}

Por lo tanto, la matriz es de rango 1.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=1}

 

Ejercicio 3

¿Cuál es el rango de la siguiente matriz cuadrada 3×3?

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Primero se calcula el determinante de toda la matriz con la regla de Sarrus:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}

El único determinante 3×3 posible da 0, por lo que la matriz no es de rango 3.

Pero dentro de la matriz sí que hay determinantes de orden 2 distintos de 0, por ejemplo:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1  \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}

En consecuencia, la matriz es de rango 2.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

 

Ejercicio 4

Calcula el rango de la siguiente matriz de orden 3:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}

Primero se resuelve el determinante de toda la matriz con la regla de Sarrus:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 =  -31\bm{ \neq0}

El determinante de toda la matriz da como resultado diferente de 0. Por tanto, la matriz es de rango máximo, es decir, de rango 3.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=3}

 

Ejercicio 5

¿Cuál es el rango de la siguiente matriz de orden 3?

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}

Primero se calcula el determinante de toda la matriz con la regla de Sarrus:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}

El único determinante 3×3 posible da 0, por lo que la matriz no es de rango 3.

Pero en el interior de la matriz sí que hay determinantes 2×2 distintos de 0, como por ejemplo:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2  \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}

Por lo tanto, la matriz es de rango 2.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

 

Ejercicio 6

Halla el rango de la siguiente matriz 3×4:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}

La matriz no puede ser de rango 4, porque no podemos hacer ningún determinante 4×4. Así que vamos a ver si es de rango 3 calculando determinantes 3×3:

 \displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4  \\[1.1ex] 2 & -2 & -3  \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}

El determinante de las 3 primeras columnas da 0. Sin embargo, el determinante de las 3 últimas columnas da distinto de 0:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3  \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}

Entonces, como dentro hay una submatriz de orden 3 cuyo determinante es diferente de 0, la matriz es de rango 3.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=3}

 

Ejercicio 7

Calcula el rango de la siguiente matriz 4×3:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5  \\[1.1ex] 5 & -2 & -9  \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}

La matriz no puede ser de rango 4, ya que no podemos resolver ningún determinante 4×4. De modo que vamos a ver si es de rango 3 haciendo todos los determinantes 3×3 posibles:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

Como todos los determinantes 3×3 posibles dan 0, la matriz tampoco es de rango 3. Probamos ahora con los determinantes 2×2:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4  \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}

Como dentro de la matriz A hay una submatriz de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0, la matriz es de rango 2.

 \displaystyle  \bm{rg(A)=2}

 

Ejercicio 8

Halla el rango de la siguiente matriz 4×4:

 \displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1  \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1  \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3  \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 &  -4\end{pmatrix}

Tenemos que resolver el determinante de toda la matriz para ver si es de rango 4.

Y para resolver el determinante 4×4, primero debemos hacer operaciones con las filas para transformar en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex]  \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}

Ahora calculamos el determinante por adjuntos:

 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 =\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 &  1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}

Y, finalmente, calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]

 \displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]

 \displaystyle = \bm{0}

El determinante 4×4 de toda la matriz da 0, por lo que la matriz A no será de rango 4. Así que ahora miramos si dentro tiene algún determinante 3×3 diferente de 0:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1  \\[1.1ex] 3 & 1 & 1  \\[1.1ex] 4 & -2 & -1  \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}

Por lo tanto, la matriz A es de rango 3:

 \displaystyle  \bm{rg(A)=3}

 

Propiedades del rango de una matriz

  • El rango no se modifica si suprimimos una línea llena de ceros, ya sea una columna o una fila rellena de 0.
  • El rango de una matriz no varia si cambiamos el orden de dos líneas paralelas, ya sean filas o columnas.
  • El rango de una matriz coincide con el de su traspuesta.
  • Si multiplicamos una fila o una columna por un número distinto de 0, el rango de la matriz no cambia.
  • El rango de una matiz no varia cuando eliminamos una línea (fila o columna) que es combinación lineal de otras líneas paralelas a ella.
  • El rango de una matriz no cambia si a una de las líneas (filas o columnas) le sumamos otras líneas paralelas a ella multiplicadas por cualquier número. Por eso también se puede calcular el rango de una matriz por el método de Gauss.

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