Cómo calcular el determinante de una matriz 4×4 por adjuntos o cofactores

En esta página veremos cómo resolver un determinante por adjuntos o cofactores y también cómo calcular el determinante de una matriz de dimensión 4×4. Sin embargo, para poder resolver el determinante de una matriz de orden 4, primero es necesario saber cómo calcular un determinante por los adjuntos de una fila o una columna. Por lo tanto, primero veremos cómo hallar un determinante por adjuntos o cofactores, y luego cómo hacer un determinante de orden 4.

¿Cómo calcular un determinante por adjuntos o cofactores?

Se puede calcular un determinante sumando los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos adjuntos (o cofactores).

A este método se le llama resolver un determinante por adjuntos o cofactores, o incluso hay matemáticos que también le dicen la regla de Laplace.

Ejemplo de cómo resolver un determinante por adjuntos:

Veamos un ejemplo resuelto de cómo resolver el determinante de una matriz 3×3 por adjuntos. Vamos a hacer el siguiente determinante:

  \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Primero de todo, debemos escoger una columna o una fila del determinante. En este caso, elegimos la primera columna, ya que tiene un 0 y, por tanto, será más fácil de resolver.

Ahora tenemos que multiplicar los elementos de la primera columna por sus respectivos adjuntos:

  \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

El adjunto de 0 no hace falta calcularlo, porque al multiplicarlo por 0 se anulará. Por tanto, lo podemos simplificar:

 \displaystyle  = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

 \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)}  + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Ahora procedemos a calcular los adjuntos:

Recuerda que para calcular el adjunto de   a_{ij} , es decir, del elemento de la fila   i y de la columna   j , hay que aplicar la siguiente fórmula:

 \text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

Donde el menor complementario de   a_{ij} es el determinante de la matriz eliminando la fila   i y la columna   j .

  \displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5  \\[1.1ex] 7 & -4   \end{vmatrix}  + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1  \\[1.1ex] -2 & 5   \end{vmatrix}

Resolvemos las potencias y los determinantes:

  = 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

  = 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

Y operamos con la calculadora:

  = -54 + 51

  = \bm{-3}

Por tanto, el resultado del determinante es -3.

Fíjate que si calculamos el determinante con la regla de Sarrus obtenemos el mismo resultado:

 \begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4   \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot  3 +  0 \cdot 7 \cdot 1  - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4)  \\  & =  16 +45 + 0  +6 - 70 -0   \\[2ex] &  =  \bm{-3}   \end{aligned}

Una vez sabemos cómo se calcula un determinante por adjuntos, ya podemos ver cómo hallar el resultado de un determinante de orden 4:

 

¿Cómo calcular un determinante 4×4?

Para resolver el determinante de matriz de orden 4×4, debemos aplicar el procedimiento que acabamos de ver de los adjuntos. Es decir, escogemos cualquier fila o columna, y sumamos los productos de sus elementos por sus respectivos adjuntos.

Sin embargo, usando este procedimiento con un determinante 4×4 se tienen que calcular muchos determinantes 3×3, y estos suelen llevar mucho tiempo. Por tanto, antes de calcular los adjuntos se hacen transformaciones a las filas, de una manera similar al método de Gauss. Ya que se puede sustituir una fila de un determinante por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

Por tanto, para calcular un determinante de orden 4 por adjuntos, debemos escoger la columna que contenga más ceros, ya que nos facilitará las cálculos. Y luego realizamos operaciones internas con las filas, para convertir en cero todos los elementos de la columna menos uno.

Veamos cómo se hace un determinante 4×4 con un ejemplo:

Ejemplo de cómo resolver un determinante 4×4:

Vamos a solucionar este determinante de la siguiente matriz cuadrada 4×4:

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

En este caso, la columna que tiene más ceros es la primera columna. Por tanto, escogemos la primera columna.

Y aprovechando que hay un 1 en esa columna, vamos a convertir todos los otros elementos de la primera columna en 0. Ya que es más fácil hacer cálculos con la fila que tiene un 1.

Por tanto, para transformar todos los otros elementos de la columna en 0, a la segunda fila le sumamos la primera fila, y a la cuarta fila le restamos la primera fila multiplicada por 2. La tercera fila no hace falta modificarla, porque ya tiene un 0 en la primera columna.

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1}  \\[1.1ex]  \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix}   \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Una vez hemos convertido en 0 todos los elementos menos uno de la columna escogida, calculamos el determinante por adjuntos. Es decir, sumamos los productos de los elementos de la columna por sus respectivos adjuntos:

  \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Los términos multiplicados por 0 se anulan, así que los simplificamos:

 =1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

 =1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

 =\text{Adj(1)}

De manera que tan solo tenemos que calcular el adjunto de 1:

  \displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}  3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0   \end{vmatrix}

Calculamos el determinante con la regla de Sarrus y la potencia:

 \inlinestyle = 1 \cdot \bigl[  3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7)  \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

  =3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7)  \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

Y finalmente resolvemos las operaciones con la calculadora:

 \displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

  \displaystyle =\bm{98}

Ejercicios resueltos de determinantes 4×4

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Hallaremos el resultado del determinante 4×4 con el método de los cofactores. Pero primer hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2}  \\[1.1ex] \  \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

Y ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la última columna:

  \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Y, finalmente, calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus:

 \displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]

 \displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]

 \displaystyle = \bm{38}

 

Ejercicio 2

Calcula el siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Calcularemos el determinante 4×4 por cofactores. Pero para ello, primero hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3}  \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}

Ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la segunda columna:

  \begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}

Y, finalmente, calculamos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]

 \displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]

 \displaystyle = \bm{124}

 

Ejercicio 3

Halla el resultado del siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Resolveremos el determinante 4×4 por adjuntos. Aunque primero hacemos operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2}  \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Ahora resolvemos el determinante 4×4 por adjuntos con la tercera columna:

 \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}  = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

Calculamos el adjunto de 1:

 \displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}

Y, por último, resolvemos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]

 \displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]

 \displaystyle = \bm{69}

 

Ejercicio 4

Calcula el resultado del siguiente determinante de orden 4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Resolveremos el determinante 4×4 por la regla de Laplace. Pero antes tenemos que hacer operaciones con las filas para convertir en cero todos los elementos de una columna menos uno:

 \begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \  \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}

Ahora resolvemos por adjuntos el determinante 4×4 con la primera columna:

 \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix}  = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

Simplificamos los términos:

 = \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

=- \text{Adj(-1)}

Calculamos el adjunto de -1:

 \displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}

Y, por último, resolvemos el determinante 3×3 con la regla de Sarrus y la calculadora:

 \displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]

 \displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]

 \displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]

 \displaystyle = \bm{-441}

 

Seguro que con toda esta práctica ya sabes cómo resolver determinantes 4×4. ¡Fantástico! Esperamos que con todos estos ejercicios ahora seas capaz de calcular el rango de una matriz de dimensión 4×4 que cuesta a tanta gente.

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