Discusión de sistemas de ecuaciones por el método Gauss

En este apartado veremos cómo discutir y resolver un sistema de ecuaciones por método de Gauss-Jordan. Es decir, determinar si se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) o un Sistema Incompatible. Además, encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos para que puedas practicar y asimilar loc conceptos a la perfección.

Para poder entender lo que explicaremos a continuación es importante que ya sepas cómo resolver un sistema por el método de Gauss, así que te recomendamos que le eches un vistazo antes de seguir.

Sistemas Compatibles Determinados por el método de Gauss

Siempre que la última fila de la matriz de Gauss sea \bm{(0 \ 0 \ n \ | \ m)}, siendo n y m dos números cualquiera, se trata de un SCD (Sistema Compatible Determinado). Y, por tanto, el sistema tiene una única solución.

La gran mayoría de sistemas son SCD.

Ejemplo:

Por ejemplo, tenemos este sistema:

 \left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}

Cuya matriz ampliada es:

\left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 3x+8y+z=1\\[2ex] 6x+4y-z=-1 \end{array} \right\}} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right)

Para resolver el sistema, tenemos que operar con las filas de la matriz y convertir en 0 todos los elementos por debajo de la diagonal principal. De modo que a la segunda fila le restamos la primera fila y a la tercera fila le restamos la primera fila multiplicada por 2:

  \left( \begin{array}{ccc|c}  3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 3 & 8 & 1 & 1 \\[2ex] 6 & 4 & -1 & -1 \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex] \xrightarrow{f_2 -f_1}    \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -2f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}   3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3  \end{array} \right)

Una vez todos los números por debajo de la diagonal principal son 0, volvemos a pasar el sistema en forma de ecuaciones:

\left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 1 \\[2ex] 0 & 6 & 2 & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 3x+2y-z=1 \\[2ex] 6y+2z=0\\[2ex] 1z=-3 \end{array} \right\}

De manera que este sistema es SCD, ya que la matriz es escalonada y la última fila es del tipo (0 \ 0 \ n \ | \ m). Por tanto, lo resolvemos como siempre: despejando las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba.

1z=-3

z = \cfrac{-3}{1}

\bm{z=-3}

Ahora que sabemos z, sustituimos su valor en la segunda ecuación para encontrar el valor de  y:

6y+2z=0\ \xrightarrow{z \ = \ -3} \ 6y+2(-3)=0

6y-6=0

6y=6

y=\cfrac{6}{6}

\bm{y=1}

Y, por último, hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos  x:

3x+2y-z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 1 \ ; \ z \ = \ -3} \ 3x+2(1)-(-3)=1

3x+2+3=1

3x=1-2-3

3x=-4

x=\cfrac{-4}{3}

\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

\bm{x= -}\cfrac{\bm{4}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=1} \qquad \bm{z=-3}

Sistemas Incompatibles por el método de Gauss

Cuando en la matriz de Gauss tenemos una fila con tres 0 seguidos y un número \bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ n)}, se trata de un SI (Sistema Incompatible), y, por tanto, el sistema no tiene solución.

Ejemplo:

Por ejemplo, imagínate que después de operar con la matriz de Gauss de un sistema nos queda:

\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & -1 & 0 \\[2ex] 0 & 3 & 1 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} \right)

Como la última fila es (0 \ 0 \ 0 \ | \ 2), es decir tres 0 seguidos con un número al final, es un SI (Sistema Incompatible) y, por tanto, el sistema no tiene solución.

Aunque no hace falta saberlo, a continuación verás por qué no tiene solución.

Si cogemos la última fila, tendríamos esta ecuación:

(0 \ 0 \ 0 \ | \ 2) \ \longrightarrow \ 0z = 2

Esta ecuación nunca se cumplirá, porque independientemente del valor que tome z, al multiplicarlo por 0 nunca dará 2 (cualquier número multiplicado por 0 siempre da 0). Y como nunca se cumplirá esta ecuación, el sistema no tiene solución.

 

Sistemas Compatibles Indeterminados por el método de Gauss

Siempre que una fila de la matriz de Gauss esté llena de 0 \bm{(0 \ 0 \ 0 \ | \ 0)}, se trata de un SCI (Sistema Compatible Indeterminado), y, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.

Veamos un ejemplo de cómo resolver un SCI:

Ejemplo:

\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\}

Como siempre, primero hacemos la matriz ampliada del sistema:

\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y-1z=-2 \\[2ex] 3x+4y+z=4 \end{array} \right\} \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)

Ahora queremos que todos los números por debajo de la diagonal principal sean 0. Por tanto, a la segunda fila le sumamos la primera fila multiplicada por -2:

 \begin{array}{lrrr|r}  &2 & 3 & -1 & -2  \\ + & -2 & -2 & -4 & -12  \\ \hline & 0 & 1 & -5 & -14  \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -2f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}

  \left( \begin{array}{ccc|c}  1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 2 & 3 & -1 & -2 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4\end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex]  \xrightarrow{f_2 -2f_1}  \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right)

Para convertir el 3 en 0, a la tercera fila le sumamos la primera fila multiplicada por -3:

 \begin{array}{lrrr|r}  & 3 & 4 & 1 & 4 \\ + & -3 & -3 & -6 & -18  \\  \hline & 0 & 1 & -5 & -14  \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -3f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}

  \left( \begin{array}{ccc|c}  1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 3 & 4 & 1 & 4 \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex]    \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -3f_1} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}  1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)

Para convertir el 1 de la última fila en 0, a la tercera fila le sumamos la segunda fila multiplicada por -1:

 \begin{array}{lrrr|r}  & 0 & 1 & -5 & -14   \\ + & 0 & -1 & 5 & 14  \\ \hline & 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -1f_2} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}

  \left( \begin{array}{ccc|c}   1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right) \begin{array}{c}   \\[2ex]    \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}   1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Como la última fila son todo 0, la podemos eliminar:

  \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c}   1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14 \end{array} \right)

Y como teníamos toda una fila llena de 0, se trata de un SCI.

Por tanto, nos queda el siguiente sistema:

  \left( \begin{array}{ccc|c}   1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & -5 & -14  \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] y-5z=-14 \end{array} \right\}

Cuando el sistema es un SCI, tenemos que hacer que una incógnita tome el valor del parámetro \lambda. Y debemos resolver el sistema en función de este parámetro \bm{\lambda}.

Por tanto, otorgamos el valor de \lambda a z:

z = \lambda

Aunque también podríamos haber escogido cualquier otra incógnita para que tomara el valor de \lambda.

Ahora despejamos y de la segunda ecuación y la dejamos en función de \lambda:

y-5z=-14 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \  y-5(\lambda )= -14

y-5\lambda=-14

y =-14+  5\lambda

Y finalmente despejamos x de la primera ecuación y también la dejamos en función de \lambda:

 x+y+2z=6 \ \xrightarrow{ y \ = \ -14 + 5\lambda \ ; \ z \ = \  \lambda } \ x+ (-14+ 5\lambda )+2(\lambda ) = 6

x-14 +5\lambda +2\lambda = 6

x=14- 5\lambda -2\lambda + 6

x=20- 7\lambda

Por tanto las soluciones del sistema son:

\bm{z = \lambda} \qquad \bm{y =-14+ 5\lambda } \qquad \bm{x=20 - 7\lambda}

Como ves, cuando el sistema es SCI, dejamos las soluciones en función del parámetro \lambda. Y recuerda que tiene infinitas soluciones, ya que dependiendo del valor que tome \lambda, la solución será una u otra.

 

Antes de pasar a los ejercicios resueltos, debes saber que, aunque en este artículo estamos utilizando el método de Gauss, otra forma de discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales es el teorema de Rouche. De hecho, seguramente se utilice más.

Ejercicios resueltos de discusión de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan

Ejercicio 1

Determina qué clase de sistema se trata y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de Gauss:

\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9  \end{array} \right\}

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

\left. \begin{array}{r} x+y+2z=6 \\[2ex] 2x+3y+5z=8 \\[2ex] 3x+3y+6z=9 \end{array} \right\}  \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex]  2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex] 3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right)

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

Así que hacemos operaciones con las filas para anular los dos últimos términos de la primera columna:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex]  2 & 3 & 5 & 8 \\[2ex]3 & 3 & 6 & 9 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 3f_1}& \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 6 \\[2ex] 0 & 1 & 1 & -4 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & -9 \end{array} \right)

Hemos obtenido una fila de la matriz que son tres 0 seguidos de un número. Por lo tanto, se trata de un SI (Sistema Incompatible) y el sistema no tiene solución.

 

Ejercicio 2

Determina qué tipo de sistema es y halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones con el método de Gauss:

\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6 \end{array} \right\}

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

\left. \begin{array}{r} x-2y+3z=1 \\[2ex] -2x+5y-z=5 \\[2ex] -x+3y+2z=6  \end{array} \right\}  \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex]  -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right)

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

Así que hacemos operaciones con las filas para anular los dos últimos términos de la primera columna:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex]  -2 & 5 & -1 & 5 \\[2ex] -1 & 3 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 2f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + f_1}  \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)

Ahora intentamos eliminar el último elemento de la segunda columna:

\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7  \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Pero obtenemos toda una fila de 0. Por tanto, se trata de un SCI y el sistema tiene infinitas soluciones.

Pero como es un SCI, podemos resolver el sistema en función de  \lambda . Así que eliminamos la fila de 0:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7 \end{array} \right)

Ahora expresamos la matriz en forma de sistema de ecuaciones con incógnitas:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 1 \\[2ex] 0 & 1 & 5 & 7  \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-2y+3z=1 \\[2ex] 1y+5z=7 \end{array} \right\}

Otorgamos el valor de  \lambda a  z :

\bm{z = \lambda}

Sustituimos el valor de  z en la segunda ecuación para encontrar el valor de  y :

 1y+5z=7 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ 1y+5(\lambda )=7

 y+5\lambda =7

 \bm{y=7-5\lambda}

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos  x :

 1x-2y+3z=1 \ \xrightarrow{y \ = \ 7-5\lambda \ ; \ z \ = \ \lambda} \ 1x-2(7-5\lambda )+3(\lambda )=1

 x-14+10\lambda+3\lambda=1

 x=1+14-10\lambda-3\lambda

 \bm{x=15-13\lambda}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

\bm{x=15-13\lambda} \qquad \bm{y=7-5\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}

 

Ejercicio 3

Halla qué tipo de sistema es y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6 \end{array} \right\}

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

\left. \begin{array}{r} 4x-4y+z=-4 \\[2ex] x+3y+z=2 \\[2ex] x+5y+2z=6\end{array} \right\}  \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex]  1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right)

Para aplicar el método de Gauss, es más fácil si el primer número de la primera fila es un 1. Por tanto, cambiaremos de orden las filas 1 y 2:

\left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex]  1 & 3 & 1 & 2 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1 \rightarrow f_2} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 \rightarrow f_1} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6  \end{array} \right)

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

Así que hacemos operaciones con las filas para anular los dos últimos términos de la primera columna:

\left( \begin{array}{ccc|c}  1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 4 & -4 & 1 & -4 \\[2ex] 1 & 5 & 2 & 6 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 - 4f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}  1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4 \end{array} \right)

Ahora convertimos en cero el último elemento de la segunda columna:

\left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 4   \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{8f_3 + f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right)

Este sistema es SCD, ya que hemos conseguido tener la matriz escalonada y la última fila es del tipo (0 \ 0 \ n \ | \ m). Por tanto tendrá una única solución. 

Una vez todos los números por debajo de la diagonal principal son 0, ya podemos resolver el sistema de ecuaciones. Para ello volvemos a expresar la matriz en forma de sistema de ecuaciones con incógnitas:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 2  \\[2ex] 0 & -16 & -3 & -12 \\[2ex] 0 & 0 & 5 & 20 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} x+3y+1z=2 \\[2ex] -16y-3z=-12 \\[2ex] 5z=20 \end{array} \right\}

Y despejamos las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Primero resolvemos la última ecuación:

 5z=20

 \bm{z}=\cfrac{20}{5} = \bm{4}

Ahora sustituimos el valor de z en la segunda ecuación para encontrar el valor de y:

  -16y-3z=-12 \ \xrightarrow{z \ = \ 4} \ -16y-3(4)=-12

 -16y-12=-12

 -16y=-12+12

 -16y=0

 \bm{y}=\cfrac{0}{-16}= \bm{0}

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos x:

 x+3y+1z=2  \ \xrightarrow{y \ = \ 0 \ ; \ z \ = \ 4} \ x+3(0)+1(4)=2

x+0+4=2

x=2-4

 \bm{x=-2}

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

\bm{x=-2} \qquad \bm{y=0} \qquad \bm{z=4}

 

Ejercicio 4

Determina qué tipo de sistema es y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9 \end{array} \right\}

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

\left. \begin{array}{r} x-y+4z=2 \\[2ex] -3x-3y+3z=7 \\[2ex] -2x-4y+7z=9  \end{array} \right\}  \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex]  -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right)

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

Así que hacemos operaciones con las filas para anular los dos últimos términos de la primera columna:

\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex]  -3 & -3 & 3 & 7 \\[2ex] -2 & -4 & 7 & 9\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 3f_1} \\[2ex] \xrightarrow{f_3 + 2f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right)

Ahora intentamos eliminar el último elemento de la segunda columna:

\left( \begin{array}{ccc|c}1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex]  \\[2ex] \xrightarrow{f_3 -1f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)

Pero obtenemos toda una fila de 0. Por tanto, se trata de un SCI y el sistema tiene infinitas soluciones.

Pero como es un SCI, podemos resolver el sistema en función de  \lambda . Así que eliminamos la fila de 0:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13\\[2ex] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right)

Ahora expresamos la matriz en forma de sistema de ecuaciones con incógnitas:

 \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 4 & 2 \\[2ex] 0 & -6 & 15 & 13 \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left. \begin{array}{r} 1x-1y+4z=2 \\[2ex] -6y+15z=13 \end{array} \right\}

Otorgamos el valor de  \lambda a  z :

\bm{z = \lambda}

Sustituimos el valor de  z en la segunda ecuación para encontrar el valor de  y :

-6y+15z=13 \ \xrightarrow{z \ = \ \lambda} \ -6y+15(\lambda )=13

-6y+15\lambda =13

-6y =13-15\lambda

 \bm{y =} \mathbf{\cfrac{13-15\lambda }{-6}}

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos  x :

 1x-1y+4z=2 \ \xrightarrow{y \ = \ \frac{13-15\lambda }{-6} \ ; \ z \ = \ \lambda} \ 1x-1\left(\cfrac{13-15\lambda }{-6} \right)+4(\lambda)=2

 x-\cfrac{13-15\lambda }{-6} +4\lambda=2

 x=2+\cfrac{13-15\lambda }{-6} -4\lambda

Tenemos una suma con fracciones. Por tanto, reducimos todos los términos a denominador común:

 x=\cfrac{-6 \cdot 2}{-6}+\cfrac{13-15\lambda }{-6} -\cfrac{-6 \cdot 4 \lambda}{-6}

 x=\cfrac{-12}{-6}+\cfrac{13-15\lambda }{-6} -\cfrac{-24 \lambda}{-6}

Como ahora todos tienen el mismo denominador, los podemos juntar en una sola fracción:

 x=\cfrac{-12+13-15\lambda-(-24 \lambda) }{-6}

Y finalmente operamos en el numerador:

 x=\cfrac{-12+13-15\lambda+24 \lambda }{-6}

 \bm{x=}\mathbf{\cfrac{1+9\lambda }{-6} }

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

\bm{x=15-13\lambda} \qquad \bm{y =} \mathbf{\cfrac{13-15\lambda }{-6}} \qquad \bm{z = \lambda}

 

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