En esta página descubriremos qué es el teorema de Rouché Frobenius y cómo calcular el rango de una matriz con él. También encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso con el teorema de Rouché-Frobenius.
¿Qué es el teorema de Rouché – Frobenius?
El teorema de Rouché-Frobenius es un método que nos permite clasificar los sistemas de ecuaciones lineales. Es decir, el teorema de Rouché-Frobenius sirve para saber cuántas soluciones tiene un sistema de ecuaciones sin necesidad de resolverlo.
Hay 3 tipos de sistemas de ecuaciones:
- Sistema Compatible Determinado (SCD): el sistema tiene una única solución.
- Sistema Compatible Indeterminado (SCI): el sistema tiene infinitas soluciones.
- Sistema Incompatible (SI): el sistema no tiene solución.
Además, el teorema de Rouché-Frobenius también nos permitirá más adelante hacer la resolución de sistemas por la regla de Cramer.
Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius
El teorema de Rouché-Frobenius dice que es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones. Y la matriz
, o matriz ampliada, es la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas de un sistema de ecuaciones y los términos independientes:

El teorema de Rouché-Frobenius nos permite saber de qué tipo de sistema de ecuaciones se trata según el rango de las matrices A y A’:
- Si rango(A) = rango(A’) = número de incógnitas ⟶ Sistema Compatible Determinado (SCD)
- Si rango(A) = rango(A’) < número de incógnitas ⟶ Sistema Compatible Indeterminado (SCI)
- Si rango(A)
rango(A’) ⟶ Sistema Incompatible (SI)
Una vez ya sabemos qué dice el teorema de Rouché-Frobenius, vamos a ver cómo resolver ejercicios del teorema de Rouché-Frobenius. Así que a continuación tienes 3 ejemplos: un ejercicio resuelto mediante el teorema de cada tipo de sistema de ecuaciones.
Ejemplo de Sistema Compatible Determinado (SCD)
La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:
Como la matriz tiene un determinante 3×3 distinto de 0, la matriz A es de rango 3:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’, que será como mínimo de rango 3 porque acabamos de ver que dentro tiene un determinante de orden 3 diferente de 0. A parte, no puede ser de rango 4, ya que no podemos hacer ningún determinante de orden 4. Por tanto, la matriz A’ también es de rango 3:
De manera que, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), sabemos por el teorema de Rouché Frobenius que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):
Ejemplo de Sistema Compatible Indeterminado (SCI)
La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:
El determinante de toda la matriz A da 0, por lo que no es de rango 3. Para ver si es de rango 2, tenemos que encontrar una submatriz dentro de A cuyo determinante sea distinto de 0. Por ejemplo el de la esquina superior izquierda:
Como la matriz tiene un determinante de 2×2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:
Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:
Así que la matriz A’ será de rango 2:
El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3). Por lo tanto, según el teorema de Rouché-Frobenius se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
Ejemplo de Sistema Incompatible (SI)
La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:
Ahora calculamos el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:
El determinante de toda la matriz A da 0, por lo que no es de rango 3. Para ver si es de rango 2, tenemos que encontrar una submatriz dentro de A cuyo determinante sea distinto de 0. Por ejemplo el de la esquina superior izquierda:
Como la matriz tiene un determinante de orden 2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que ahora probamos, por ejemplo, con el determinante de las 3 últimas columnas:
En cambio, la matriz A’ sí que contiene un determinante cuyo resultado es diferente de 0, de modo que la matriz A’ será de rango 3:
Por lo tanto, como el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’, deducimos a partir del teorema de Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Incompatible (SI):
Ejercicios resueltos del teorema de Rouché – Frobenius
Ejercicio 1
Determina de qué tipo se trata el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas mediante el teorema de Rouché-Frobenius:

Primero hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de la matriz es diferente de 0:
Como la matriz tiene un determinante de tercer orden distinto de 0, la matriz A es de rango 3:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. Esta será como mínimo de rango 3, porque acabamos de ver que dentro tiene un determinante de orden 3 diferente de 0. A parte, no puede ser de rango 4, ya que no podemos hacer ningún determinante 4×4. Por tanto, la matriz A’ también es de rango 3:
Por tanto, gracias al teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.
Ejercicio 2
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas con el teorema de Rouché-Frobenius:

Antes de nada, construimos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora calculamos el rango de la matriz A:
De manera que la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:
Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:
Así que la matriz A’ será de rango 2:
El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3). Por lo tanto, por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
Ejercicio 3
Determina de qué clase de sistema se trata el siguiente sistema de ecuaciones mediante el teorema de Rouché-Frobenius:

Primero hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora calculamos el rango de la matriz A:
De modo que la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, pero el determinante de las 3 últimas columnas no:
Por tanto, la matriz A’ es de rango 3:
El rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’, así que podemos deducir a partir del teorema de Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Incompatible (SI):
Ejercicio 4
Determina de qué tipo se trata el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas mediante el teorema de Rouché-Frobenius:

Primero hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora tenemos que calcular el rango de la matriz A. Para ello, resolvemos el determinante de la matriz con la regla de Sarrus:
Como la matriz tiene un determinante de tercer orden distinto de 0, la matriz A es de rango 3:
Por tanto, la matriz A’ también es de rango 3, ya que siempre es como mínimo del rango de A y no puede ser de rango 4 porque no podemos resolver ningún determinante 4×4.
Por tanto, gracias a la aplicación del teorema de Rouché-Frobenius sabemos que el sistema es un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.
Ejercicio 5
Identifica qué tipo de sistema es el siguiente sistema de ecuaciones a través el teorema de Rouché-Frobenius:

Primero hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora calculamos el rango de la matriz A:
Por lo tanto, la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, sin embargo el determinante de las 3 últimas columnas no:
Por tanto, la matriz A’ es de rango 3:
Y, finalmente, aplicamos el rango el teorema de Rouché-Frobenius: el rango de la matriz A es más pequeño que el rango de la matriz A’, así que se trata de un Sistema Incompatible (SI):
Ejercicio 6
Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones de orden 3 con el teorema de Rouché-Frobenius:
Primero de todo construimos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:
Ahora calculamos el rango de la matriz A:
De manera que la matriz A es de rango 2:
Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. El determinante de las 3 primeras columnas ya sabemos que da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles:
Todos los determinantes 3×3 de la matriz A’ son 0, por tanto, la matriz A’ tampoco será de rango 3. Sin embargo, dentro sí que tiene determinantes de orden 2 diferentes de 0. Por ejemplo:
Así que la matriz A’ será de rango 2:
Por último, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, sabemos que es un Sistema Compatible Indeterminado (SCI), porque el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3):