Regla de Cramer

En esta página verás qué es la regla de Cramer y, además, encontrarás ejemplos y ejercicios con resoluciones de sistemas de ecuaciones por la regla de Cramer.

¿Qué es la regla de Cramer?

La regla de Cramer es un método que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Veamos cómo se utiliza:

Dado un sistema de ecuaciones:

  \begin{cases} ax+by+cz= \color{red}\bm{j} \\[1.5ex] dx+ey+fz=\color{red}\bm{k} \\[1.5ex] gx+hy+iz = \color{red}\bm{l} \end{cases}

La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} a & b & c  \\[1.1ex] d & e & f  \\[1.1ex] g & h & i  \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} a & b & c &  \color{red}\bm{j}  \\[1.1ex] d & e & f & \color{red}\bm{k} \\[1.1ex] g & h & i & \color{red}\bm{l} \end{array} \right)

La regla de Cramer dice que la solución de un sistema de ecuaciones es:

que es la regla de cramer, explicación de la regla de cramer

Fíjate que los determinantes de los numeradores son como el determinante de la matriz A pero cambiando la columna de cada incógnita por la columna de los términos independientes.

Por tanto, la regla de Cramer sirve para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. Pero, como ya sabes, existen muchas maneras para resolver un sistema de ecuaciones, por ejemplo el metodo de Gauss Jordan es muy conocido.

A continuación tienes ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con la regla de Cramer, o a veces también escrito como regla de Kramer.

Ejemplo 1: Sistema Compatible Determinado (SCD)

  • Resuelve el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando la regla de Cramer:

  \begin{cases} 2x+y+3z= 1 \\[1.5ex] 3x-2y-z=0 \\[1.5ex] x+3y+2z = 5\end{cases}

Primero de todo, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & 5 \end{array} \right)

Ahora calculamos el rango de las dos matrices, con el objetivo de ver qué tipo de sistema es. Para calcular el rango de A, calculamos el determinante 3×3 de toda la matriz (con la regla de Sarrus) y miramos si da 0:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =-8-1+27+6+6-6 = 24 \neq 0

El determinante de A es diferente de 0, por tanto, la matriz A es de rango 3.

 \displaystyle  rg(A)=3

De manera que la matriz A’ también es de rango 3, ya que no puede ser de rango 4 y tiene que ser como mínimo del mismo rango que la matriz A.

 \displaystyle  rg(A')=3

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ y al número de incógnitas del sistema (3), por tanto, por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo. Para ello recuerda que la matriz A, su determinante y la matriz A’ son:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 3 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 & \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 & 2 & \color{red}\bm{5} \end{array} \right)

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 & 2\end{vmatrix} =24

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} \color{red}\bm{1} & 1 & 3 \\[1.1ex] \color{red}\bm{0} & -2 & -1 \\[1.1ex] \color{red}\bm{5} & 3 & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{24}{24} = \bm{1}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & \color{red}\bm{1} & 3 \\[1.1ex] 3 &  \color{red}\bm{0} & -1 \\[1.1ex] 1 & \color{red}\bm{5} & 2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{48}{24} = \bm{2}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & \color{red}\bm{1} \\[1.1ex] 3 & -2 &  \color{red}\bm{0} \\[1.1ex] 1 & 3 &  \color{red}\bm{5}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-24}{24} = \bm{-1}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

 \displaystyle  \bm{x = 1 \qquad y=2 \qquad z = -1}

 

Ejemplo 2: Sistema Compatible Indeterminado (SCI)

  • Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con la regla de Cramer:

  \begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex] x+5y+3z = 1 \end{cases}

Primero de todo, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3 & 1 \end{array} \right)

Ahora calculamos el rango de las dos matrices, y así poder ver de qué tipo de sistema se trata. Para calcular el rango de A, calculamos el determinante de toda la matriz (con la regla de Sarrus) y miramos si es 0:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 5 & 3\end{vmatrix} = 27-2-40-12+15+12= 0

El determinante da 0, por tanto, la matriz A no es de rango 3. Pero sí que tiene algún determinante 2×2 diferente de 0:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0

De manera que la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de la matriz A, calculamos el de la matriz A’. El determinante de las 3 primeras columnas da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles dentro de la matriz A’:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \\[1.1ex] 1 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes de orden 3 dan 0. Pero, evidentemente, la matriz A’ tiene el mismo determinante 2×2 distinto de 0 que la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & 2 \\[1.1ex] -2 & 3 \end{vmatrix} =9-(-4)=13\neq 0

Por tanto, la matriz A’ también es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

Por lo tanto, como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), sabemos por el teorema de Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Cuando queremos resolver un Sistema Compatible Indeterminado (SCI) tenemos que transformar el sistema: primero eliminamos una ecuación, después convertimos una variable en λ (normalmente la variable z), y finalmente ponemos los términos con λ junto con los términos independientes.

Una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer y obtendremos la solución del sistema en función de λ.

En este caso, eliminaremos la última ecuación del sistema:

\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0 \\[1.5ex]\cancel{x+5y+3z = 1} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0\end{cases}

Ahora convertimos la variable z en λ:

\begin{cases} 3x+2y+4z=1 \\[1.5ex] -2x+3y-z=0  \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x+2y+4\lambda=1 \\[1.5ex] -2x+3y-\lambda=0\end{cases}

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes:

\begin{cases} 3x+2y=1-4\lambda \\[1.5ex] -2x+3y=\lambda \end{cases}

Por tanto, la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 2  \\[1.1ex] -2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & 2 & 1 -4\lambda \\[1.1ex] -2 & 3 & \lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Así que resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & 2  \\[1.1ex] -2 & 3\end{vmatrix} = 13

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 -4\lambda & 2  \\[1.1ex] \lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3(1-4\lambda) -2\lambda}{13} = \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 1 -4\lambda  \\[1.1ex]-2&  \lambda  \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3\lambda -\bigl(-2(1-4\lambda)\bigr)}{13}= \cfrac{3\lambda -\bigl(-2+8\lambda\bigr)}{13} = \cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}}

De modo que la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y, por tanto, tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =} \cfrac{\bm{3-14\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-5\lambda} }{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}

 

Ejercicios resueltos de la regla de Cramer

Ejercicio 1

Aplicar la regla de Cramer para resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones con 2 incógnitas:

ejercicio resuelto paso a paso con la regla de cramer 2x2

Lo primero que debemos hacer es la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{cc} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 1 & 4 & 7 \end{array}\right)

Ahora tenemos que hallar el rango de la matriz A. Para ello, miramos si el determinante de toda la matriz es diferente de 0:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 1 & 4 \end{vmatrix} = 8-5=3 \bm{\neq 0}

Como la matriz tiene un determinante 2×2 distinto de 0, la matriz A es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de A, calculamos el rango de A’. Esta será como mínimo de rango 2, porque acabamos de ver que dentro tiene un determinante de orden 2 diferente de 0. A parte, no puede ser de rango 3, ya que no podemos hacer ningún determinante 3×3. Por tanto, la matriz A’ también es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

Por tanto, aplicando el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 2 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 2 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, aplicamos la regla de Cramer para resolverlo.

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 \\[1.1ex] 7 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-3}{3} = \bm{-1}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}2 & 8 \\[1.1ex] 1 & 7\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{6}{3} = \bm{2}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

 \displaystyle  \bm{x = -1 \qquad y=2}

 

Ejercicio 2

Halla la solución del siguiente sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas por la regla de Cramer:

ejercicio resuelto de la regla de cramer de un sistema de ecuaciones 3x3

Primero de todo hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2\\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 & 0 \end{array}\right)

Ahora hallamos el rango de la matriz A calculando el determinante de la matriz 3×3 con la regla de Sarrus:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & -1\\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = 20-9+2-30-1+12=-6 \bm{\neq 0}

Como la matriz tiene un determinante de orden 3 distinto de 0, la matriz A es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A)=3

En consecuencia, la matriz A’ también es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A')=3

Por tanto, utilizando el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, tenemos que aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema.

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 3 & 2 \\[1.1ex] 4 & 5 & -1\\[1.1ex]0 & -1 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-18}{-6} = \bm{3}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 & -1\\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-6}{-6} = \bm{1}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 0\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12}{-6} = \bm{-2}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

 \displaystyle  \bm{x =3 \qquad y=1 \qquad z=-2}

 

Ejercicio 3

Calcula la solución del siguiente sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas por la regla de Cramer:

ejemplo de la regla de cramer

Primero hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 & 9 \end{array}\right)

Calculamos el rango de la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5\\[1.1ex] 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 4 & -7 \end{vmatrix} =-21-6+40-45+4+28=0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3  \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de la matriz A, calculamos el de la matriz A’. El determinante de las 3 primeras columnas da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles dentro de la matriz A’:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\[1.1ex]  3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 4 & -7 & 9 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 5 & 1 \\[1.1ex] 2 & -1 & 5 \\[1.1ex] 3 & -7 & 9\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 4 & 9 \end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes de orden 3 dan 0. Sin embargo, la matriz A’ tiene el mismo determinante 2×2 distinto de 0 que la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3 \end{vmatrix} = 3-4 = -1 \neq 0

Por tanto, la matriz A’ también es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

Como el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), sabemos por el teorema de Rouché-Frobenius que se trata de un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Al ser una sistema SCI, debemos eliminar una ecuación. En este caso, eliminaremos la última ecuación del sistema:

\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5 \\[1.5ex]\cancel{3x+4y-7z = 9} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5\end{cases}

Ahora convertimos la variable z en λ:

\begin{cases} x+2y+5z=1 \\[1.5ex] 2x+3y-z=5  \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+2y+5\lambda=1 \\[1.5ex] 2x+3y-\lambda=5\end{cases}

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes:

\begin{cases} x+2y=1-5\lambda\\[1.5ex] 2x+3y=5+\lambda \end{cases}

De manera que la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2  \\[1.1ex] 2 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 -5\lambda \\[1.1ex] 2 & 3 &5+\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Así que resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 3\end{vmatrix} =-1

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1-5\lambda & 2 \\[1.1ex] 5+\lambda & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{3-15\lambda -(10+2\lambda)}{-1} = \cfrac{-7-17\lambda}{-1} = \bm{7+17\lambda}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1-5\lambda \\[1.1ex] 2 & 5+\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{5+\lambda -(2-10\lambda)}{-1}= \cfrac{3+11\lambda}{-1} = \bm{-3-11\lambda}

De modo que la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y, por tanto, tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x =7+17\lambda} \qquad \bm{y=-3-11\lambda} \qquad \bm{z = \lambda}

 

Ejercicio 4

Resuelve el siguiente problema de un sistema de tres ecuaciones con 3 incógnitas aplicando la regla de Cramer:

 \begin{cases} -2x+5y+z=8 \\[1.5ex] 6x+2y+4z=4 \\[1.5ex] 3x-2y+z = -2 \end{cases}

En primer lugar, hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc}-2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & 1 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right)

Ahora calculamos el rango de la matriz A calculando el determinante de la matriz 3×3 mediante la regla de Sarrus:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -2 & 5 & 1 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -4+60-12-6-16-30=-8 \bm{\neq 0}

Como la matriz tiene un determinante de orden 3 distinto de 0, la matriz A es de rango 3:

 \displaystyle  rg(A)=3

En consecuencia, la matriz A’ también es de rango 3, ya que esta tiene que ser como mínimo del mismo rango que la matriz A y no puede ser de rango 4 porque es una matriz de dimensión 3×4.

 \displaystyle  rg(A')=3

Por tanto, usando el teorema de Rouché-Frobenius deducimos que se trata de un Sistema Compatible Determinado (SCD), porque el rango de A es igual al rango de A’ y al número de incógnitas.

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}

Una vez sabemos que el sistema es un SCD, tenemos que aplicar la regla de Cramer para resolver el sistema.

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 8 & 5 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{16}{-8} = \bm{-2}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}-2 & 8 & 1 \\[1.1ex] 6 & 4 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-6} = \bm{0}

Para calcular  \displaystyle  z con la regla de Cramer, cambiamos la tercera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} -2 & 5 & 8 \\[1.1ex] 6 & 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 & -2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-32}{-8} = \bm{4}

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones lineales es:

 \displaystyle  \bm{x =-2 \qquad y=0 \qquad z=4}

 

Ejercicio 5

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer:

ejemplo de como resolver un sistema de ecuaciones con la regla de cramer

Primero de todo hacemos la matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 3 & -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right)

Calculamos el rango de la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & -2 \end{vmatrix} =-30-40+3+75-12+4=0

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5  \end{vmatrix} = 15- (2)= 13 \neq 0

 \displaystyle  rg(A)=2

Una vez sabemos el rango de la matriz A, calculamos el de la matriz A’. El determinante de las 3 primeras columnas da 0, así que probamos con los otros determinantes 3×3 posibles dentro de la matriz A’:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} -2 & -3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & -10 \\[1.1ex]  1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix}3 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 4 & -10 \\[1.1ex] 5 & -2 & -2\end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 3 & -2 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & -10 \\[1.1ex] 5 & 1 &-2\end{vmatrix} = 0

Todos los determinantes de orden 3 dan 0. Pero, obviamente, la matriz A’ tiene el mismo determinante de orden 2 distinto de 0 que la matriz A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix} 3 & -2 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{vmatrix} = 13 \neq 0

Por lo tanto, la matriz A’ también es de rango 2:

 \displaystyle  rg(A')=2

El rango de la matriz A es igual al rango de la matriz A’ pero estos dos son más pequeños que el número de incógnitas del sistema (3), así que por el teorema de Rouché-Frobenius sabemos que es un Sistema Compatible Indeterminado (SCI):

 \displaystyle  \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3    \end{array}} \\ \\  \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3  \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}

Al ser una sistema SCI, debemos eliminar una ecuación. En este caso, eliminaremos la última ecuación del sistema:

\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10 \\[1.5ex]\cancel{5x+y-2z = -2} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10\end{cases}

Ahora convertimos la variable z en λ:

\begin{cases} 3x-2y-3z=4 \\[1.5ex] -x+5y+4z=-10  \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 3x-2y-3\lambda=4 \\[1.5ex] -x+5y+4\lambda=-10\end{cases}

Y ponemos los términos con λ junto con los términos independientes:

\begin{cases} 3x-2y=4+3\lambda \\[1.5ex] -x+5y=-10-4\lambda\end{cases}

De manera que la matriz A y la matriz A’ del sistema quedan:

 \displaystyle  A= \left( \begin{array}{ccc} 3 & -2  \\[1.1ex] -1 & 5 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 3 & -2 & 4+3\lambda \\[1.1ex] 1 & 5 &-10-4\lambda \end{array} \right)

Finalmente, una vez hemos transformado el sistema, aplicamos la regla de Cramer. Así que resolvemos el determinante de A:

 \displaystyle  \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3& -2 \\[1.1ex] -1 & 5\end{vmatrix} =13

Para calcular la incógnita  \displaystyle  x con la regla de Cramer, cambiamos la primera columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

 \displaystyle  \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4+3\lambda & -2 \\[1.1ex]-10-4\lambda & 5\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{20+15\lambda -(20+8\lambda)}{13} = \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}}

Para calcular la incógnita  \displaystyle  y con la regla de Cramer, cambiamos la segunda columna del determinante de A por la columna de términos independientes y lo dividimos entre el determinante de A:

  \displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 3 & 4+3\lambda \\[1.1ex] -1 & -10-4\lambda\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-30-12\lambda -(-4-3\lambda)}{13}= \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}}

De manera que la solución del sistema de ecuaciones queda en función de λ, ya que es un SCI y, por tanto, el sistema tiene infinitas soluciones:

 \displaystyle  \bm{x=} \cfrac{\bm{7\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-26-9\lambda}}{\bm{13}} \qquad \bm{z = \lambda}

 

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