Menor complementario, adjunto y matriz adjunta

En este apartado veremos qué son y cómo calcular un menor complementario, un adjunto y la matriz adjunta. Además, encontrarás ejemplos, para que lo entiendas del todo bien, y ejercicios resueltos paso a paso, para que puedas practicar.

¿Qué es el menor complementario?

Se llama menor complementario de un elemento   a_{ij} al determinante que se obtiene al suprimir la fila   i y la columna   j de una matriz.

 

¿Cómo calcular el menor complementario de un elemento?

Vamos a ver cómo se calcula el menor complementario de un elemento mediante un par de ejemplos:

Ejemplo 1:

Calcula el menor complementario de 1 de la siguiente matriz cuadrada 3×3:

 \displaystyle A  =  \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)

El menor complementario de 1 es el determinante de la matriz que queda al eliminar la fila y la columna donde está el 1. Es decir, quitando la primera fila y la segunda columna:

    \left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 &  \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4                    \end{tabular} \right)

 \text{Menor complementario de 1} =  \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}

Ejemplo 2:

En esta ocasión calcularemos el menor complementario de 0 de la misma matriz que antes:

\displaystyle A  =  \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)

El menor complementario de 0 es el determinante de la matriz suprimiendo la fila y la columna donde está el 0:

    \left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ &  & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 &  8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4                    \end{tabular} \right)

 \text{Menor complementario de 0} =  \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}

Ejercicios resueltos de menores complementarios

Ejercicio 1

Calcula el menor complementario de 3 de la siguiente matriz 3×3:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}

El menor complementario de 3 es el determinante de la matriz que queda al quitar la fila y la columna donde está el 3:

 \text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}

 

Ejercicio 2

Halla el menor complementario de 5 de la siguiente matriz de orden 3:

 \displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}

El menor complementario de 5 es el determinante de la matriz que obtenemos al quitar la fila y la columna donde está el 5:

 \text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}

 

Ejercicio 3

Calcula el menor complementario de 6 de la siguiente matriz 4×4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

El menor complementario de 6 es el determinante de la matriz que queda al quitar la fila y la columna donde está el 6:

 \text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}

Resolvemos el determinante con la regla de Sarrus:

 \displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}

 

¿Qué es el adjunto de un elemento de una matriz?

El adjunto de   a_{ij} , es decir, del elemento de la fila   i y de la columna   j , se obtiene con la siguiente fórmula:

 \text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

 

¿Cómo sacar el adjunto de un elemento de una matriz?

Vamos a ver cómo se calcula el adjunto de un elemento a través de varios ejemplos:

Ejemplo 1:

Calcula el adjunto de 4 de la siguiente matriz de orden 3:

 \displaystyle A  =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

 \text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4

El 4 está en la fila 2 y en la columna 1, por tanto, en este caso   i = 2  y   j = 1 :

 \text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4

Y, como hemos visto antes, el menor complementario de 4 es el determinante de la matriz eliminando la fila y la columna donde está el 4. Por tanto:

 \text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot}  \begin{vmatrix}  2 & 3  \\[1.1ex]  8 & 9 \end{vmatrix}

Ahora resolvemos el determinante y hallamos el adjunto de 4:

 \text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot}  (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}

Recuerda que un número negativo elevado a un exponente par da positivo. Por tanto, si el -1 está elevado a un número par, se convertirá en positivo.  \bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}

En cambio, si un número negativo está elevado a un exponente impar, da negativo. Por tanto, si el -1 está elevado a un número impar, seguirá siendo negativo.  \bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}

 

Ejemplo 2:

Vamos a hallar el adjunto de 5 de la misma matriz que antes:

 \displaystyle A  =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

 \text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5

 \text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3  \\[1.1ex]  7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}

 

Ejemplo 3:

Vamos a hacer el adjunto de 3 de la misma matriz:

 \displaystyle A  =  \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

 \text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3

 \text{Adjunto de} 3 \displaystyle =  (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5  \\[1.1ex]  7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}

El adjunto de un elemento se utiliza para calcular determinantes, como veremos más adelante, y para calcular la matriz adjunta, que es lo que vamos a ver ahora.

Ejercicios resueltos de adjuntos

Ejercicio 1

Calcula el adjunto de 2 de la siguiente matriz 3×3:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Para conseguir el resultado del adjunto de 2 tan solo tenemos que aplicar la fórmula del adjunto de un elemento:

 \text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}

 \text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}

 

Ejercicio 2

Halla el adjunto de 4 de la siguiente matriz de orden 3:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}

Para sacar el adjunto de 4 tenemos que utilizar la fórmula del adjunto de un elemento:

 \text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}

 \text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}

 

Ejercicio 3

Encuentra el adjunto de 7 de la siguiente matriz 4×4:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}

Para hacer el adjunto de 7 aplicamos la fórmula del adjunto de un elemento:

 \text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}

 \text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}

Aplicamos la regla de Sarrus para resolver el determinante de tercer orden:

  \displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]

 \displaystyle = -1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{+18}

 

¿Qué es la matriz adjunta?

La matriz adjunta es una matriz en la que se han cambiado todos sus elementos por sus adjuntos.

 

¿Cómo calcular la matriz adjunta?

Para calcular la matriz adjunta, tenemos que sustituir todos los elementos de la matriz por sus adjuntos.

Veamos como se hace la matriz adjunta a través de un ejemplo:

Ejemplo:

Calcula la matriz adjunta de la siguiente matriz cuadrada de dimensión 2×2:

 \displaystyle A  =  \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2  \end{pmatrix}

Para calcular la matriz adjunta, debemos calcular el adjunto de cada elemento de la matriz. Por tanto, primero vamos a resolver los adjuntos de todos los elementos con la fórmula:

 \text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

 \text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}

 \text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

 \text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}

 \text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

Ahora simplemente tenemos que sustituir cada elemento de la matriz   A por su adjunto para hallar la matriz adjunta de  \bm{A} :

 \text{Adj} (A)  =  \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4}  \end{pmatrix}

Y de esta manera se halla la adjunta de una matriz. Pero seguro que te estás preguntando ¿par qué demonios sirven todos estos cálculos? Pues una de las utilidades de la matriz adjunta es calcular la inversa de una matriz. De hecho, la manera más común de hallar la matriz inversa es por el método de la matriz adjunta.

 

Ejercicios resueltos de matriz adjunta

Ejercicio 1

Calcula la matriz adjunta de la siguiente matriz cuadrada 2×2:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3  \\[1.1ex] -4 & 1  \end{pmatrix}

Para calcular la matriz adjunta, debemos calcular el adjunto de cada elemento de la matriz. Por tanto, primero vamos a resolver los adjuntos de todos los elementos con la fórmula:

 \text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}

 \text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}

 \text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

 \text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}

Ahora simplemente tenemos que sustituir cada elemento de la matriz   A por su adjunto para hallar la matriz adjunta de  A :

 \text{Adj} (A)  =  \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2}  \end{pmatrix}

 

Ejercicio 2

Halla la matriz adjunta de la siguiente matriz de segundo orden:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2  \\[1.1ex] 3 & -7  \end{pmatrix}

Para calcular la matriz adjunta, debemos calcular el adjunto de cada elemento de la matriz. Por tanto, primero vamos a resolver los adjuntos de todos los elementos con la fórmula:

 \text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}

 \text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}

 \text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}

 \text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}

Ahora simplemente tenemos que sustituir cada elemento de la matriz   A por su adjunto para hallar la matriz adjunta de A :

 \text{Adj} (A)  =  \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6}  \end{pmatrix}

 

Ejercicio 3

Calcula la matriz adjunta de la siguiente matriz 3×3:

 \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2  \end{pmatrix}

Para calcular la matriz adjunta, debemos calcular el adjunto de cada elemento de la matriz. Por tanto, primero vamos a resolver los adjuntos de todos los elementos con la fórmula:

 \text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}

 \text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}  2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}

 \text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}

 \text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}

 \text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}

 \text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3  \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}

 \text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}

 \text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}

 \text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}

Ahora simplemente tenemos que sustituir cada elemento de la matriz   A por su adjunto para hallar la matriz adjunta de  A :

 \text{Adj} (A)  =  \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2}  \end{pmatrix}

 

4 comentarios en “Menor complementario, adjunto y matriz adjunta”

  1. Fulanito Detal

    De película, felicidades, muchas. Has conseguido que un borreguillo como yo lo pueda entender…Gracias!!!.

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