Matriz idempotente

En esta página explicamos qué son las matrices idempotentes. También te mostramos varios ejemplos de este tipo de matrices para que lo entiendas perfectamente. Además, encontrarás la fórmula para hallar una matriz idempotente y, finalmente, todas las propiedades de las matrices idempotentes.

¿Qué es una matriz idempotente?

La definición de matriz idempotente es la siguiente:

Una matriz idempotente es aquella matriz que multiplicada por ella misma da como resultado la misma matriz.

A\cdot A = A

Por lo tanto, cualquier potencia de una matriz idempotente es igual a la propia matriz, independientemente del exponente:

potencia de una matriz idempotente

De hecho, por esta razón este tipo de matriz recibe este nombre. Porque en matemáticas la idempotencia es una operación que significa que siempre se obtiene el mismo resultado independientemente del número de veces que se realice.

Ejemplos de matrices idempotentes

Una vez ya conocemos el concepto de matriz idempotente, vamos a ver algunos ejemplos de diferentes dimensiones para acabarlo de entender.

Ejemplo de matriz idempotente 2×2

La siguiente matriz cuadrada de dimensión 2×2 es idempotente:

ejemplo de matriz idempotente de dimension 2x2

Para comprobar que es una matriz idempotente calculamos su cuadrado:

  \displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix}

El resultado es idéntico, por lo que queda demostrado que se trata de una matriz idempotente.

Ejemplo de matriz idempotente 3×3

La siguiente matriz cuadrada de tamaño 3×3 es idempotente:

ejemplo de matriz idempotente de dimension 3x3

Para verificar que realmente corresponde una matriz idempotente elevamos la matriz a la 2:

 \displaystyle B^2=\begin{pmatrix} 2 &-3 & -5 \\[1.1ex] -1 & 4 & 5 \\[1.1ex] 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

El resultado es el mismo que la matriz original, así que se demuestra la idempotencia de la matriz.

Estructura de una matriz idempotente 2×2

A continuación te mostramos la fórmula para obtener una matriz idempotente. La demostración de la fórmula es un poco tediosa, así que te dejamos directamente con la fórmula de las matrices idempotentes:

formula de la matriz idempotente 2x2

De manera que los elementos de la diagonal secundaria de una matriz idempotente pueden ser cualesquiera mientras se cumpla la condición a^2+bc=a y los números de la diagonal principal deben ser a y 1-a.

Además de todas las matrices descritas por esta fórmula, hay que añadir la matriz Identidad, que también es una matriz idempotente pese a no cumplir con la fórmula. Si no sabes qué matriz es, puedes consultar cuál es la matriz Identidad.

Propiedades de las matrices idempotentes

Las matrices idempotentes tienen las siguientes características:

  • El determinante de una matriz idempotente siempre da como resultado 0 o 1.
  • Excepto la matriz Identidad, todas las otras matrices idempotentes son a la vez matrices singulares o degeneradas, es decir, no son invertibles.
  • Cualquier matriz idempotente es diagonalizable, y sus autovalores (o valores propios) siempre son 0 o 1.
  • La traza de una matriz idempotente es igual al rango de la matriz.
  • Por último, existe una relación entre las matrices idempotentes y las matrices involutivas: la matriz A es idempotente si, y solo si, la matriz \displaystyle P= 2A-I es involutiva.

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Ir arriba