Matriz Hermitiana (o Hermítica)

En esta página podrás aprender qué es una matriz hermitiana, también conocida como matriz hermítica. Encontrarás ejemplos de matrices hermitianas, todas sus propiedades y la forma que tienen este tipo de matrices para poderlo entender perfectamente. Por último, también explicamos cómo descomponer cualquier matriz compleja en la suma de una matriz hermitiana más una matriz antihermitiana.

¿Qué es una matriz hermitiana o hermítica?

Una matriz hermitiana, o también llamada matriz hermítica, es una matriz cuadrada con números complejos que tiene la característica de ser igual a su traspuesta conjugada.

 A=A^*

Donde A^* es la matriz traspuesta conjugada de A.

Como curiosidad, este tipo de matriz se denomina de esta manera en honor a Charles Hermite, un matemático francés del siglo XIX que hizo importantes investigaciones en las matemáticas, y especialmente en el campo del álgebra lineal.

El motivo de nombrar así a esta matriz fue que él demostró que los valores propios (o autovalores) de estas peculiares matrices siempre son números reales, pero esto lo explicaremos más detalladamente en las propiedades de las matrices hermitianas.

Finalmente, a veces también se puede referir a esta matriz como matriz autoadjunta, aunque es muy poco habitual.

Ejemplos de matrices hermitianas

Una vez vista la definición de matriz hermitiana (o matriz hermítica) veamos algunos ejemplos de matrices hermitianas de varias dimensiones:

Ejemplo de matriz hermitiana de orden 2×2

matriz hermitiana o hermitica de dimension 2x2

Ejemplo de matriz hermitiana de dimensión 3×3

matriz hermitiana o hermitica de dimension 3x3

Ejemplo de matriz hermitiana de tamaño 4×4

matriz hermitiana o hermitica de dimension 4x4

Todas estas matrices son hermitianas porque la matriz transpuesta conjugada de cada una es igual a la propia matriz.

Estructura de una matriz hermitiana

Las matrices hermitianas tienen una estructura muy fácil de recordar: están formadas por números reales en la diagonal principal, y el elemento complejo situado en la i-ésima fila y la j-ésima columna debe ser el conjugado del elemento que está en la j-ésima fila y la i-ésima columna.

A continuación tienes varios ejemplos de estructuras de matrices hermíticas.

Estructura hermitiana 2×2

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}

Estructura hermitiana 3×3

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}

Estructura hermitiana 4×4

\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}

Propiedades de la matriz hermitiana

Ahora pasamos a ver cuáles son las propiedades de este tipo de matriz compleja cuadrada:

  • Toda matriz hermítica es una matriz normal. Aunque no todas las matrices normales son matrices hermíticas.
  • Cualquier matriz hermitiana es diagonalizable. Además, la matriz diagonal obtenida solo contiene elementos reales.
  • Por lo tanto, los valores propios (o autovalores) de una matriz hermitiana siempre son números reales. Esta propiedad la descubrió Charles Hermite, y por esta razón se le honró llamando hermitiana a esta matriz tan especial.
  • Asimismo, los subespacios propios de una matriz hermitiana son ortogonales de dos en dos: existe una base ortonormal de \mathbb{C}^n constituida con vectores propios (autovectores) de la matriz.
  • Una matriz de números reales, es decir que ningún elemento tiene parte imaginaria, es hermítica si, y solo si, es una matriz simétrica. Como por ejemplo la matriz identidad 2×2.
  • Una matriz hermitiana se puede expresar como la suma de una matriz simétrica real más una matriz antisimetrica imaginaria.

A =B+Ci

  • La suma (o resta) de dos matrices hermitianas es igual a otra matriz hermitiana, porque:

(A\pm B)^* = A^*\pm B^* = A \pm B

  • El resultado del producto de una matriz hermitiana por un escalar es otra matriz hermitiana si el escalar se trata de un número real.

(k \cdot A)^* = \overline{k}\cdot A^* = k \cdot A

  • El producto de dos matrices hermitianas generalmente no es hermítico de nuevo. Sin embargo, el producto es hermitiano cuando las dos matrices son conmutables, o dicho de otra forma, que el resultado de la multiplicación de ambas matrices es el mismo independientemente del sentido en el que se multiplican, ya que entonces se aplica la siguiente condición de las operaciones con matrices traspuestas conjugadas:

(A \cdot B)^* = B^*\cdot A^* = B \cdot A = A \cdot B

  • Si una matriz hermitiana es invertible, la inversa de esta también resulta ser una matriz hermitiana.

(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}

  • El determinante de una matriz hermitiana siempre es equivalente a un número real. Aquí tienes la demostración de esta propiedad:

det(A) = det(A^t) \ \longrightarrow \ det(A^*) = \overline{det(A)}

Por lo tanto, si A = A^*:

det(A) = \overline{det(A)}

Por lo que, para que se cumpla esta condición, es necesariamente obligatorio que el determinante de una matriz hermítica sea un número real. De esta manera el conjugado del resultado es igual al propio resultado.

Descomposición de una matriz compleja en una matriz hermitiana y una antihermitiana

Cualquier matriz con elementos complejos se puede descomponer en la suma de una matriz hermitiana más otra matriz antihermitiana. Pero para ello debemos conocer las siguientes peculiaridades de estos tipos de matrices:

  • La suma de una matriz compleja cuadrada más su conjugada traspuesta da como resultado una matriz hermitiana.

 C + C^* = \text{Matriz Hermitiana}

  • La diferencia entre una matriz compleja cuadrada y su conjugada traspuesta da como resultado una matriz antihermitiana (o antihermítica).

 C - C^* = \text{Matriz Antihermitiana}

  • Por lo tanto, todas las matrices complejas se pueden descomponer en la suma de una matriz hermitiana y otra antihermitiana. Este teorema se conoce como descomposición de Teoplitz:

 \displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A =  \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^*)\end{array}

Donde C es la matriz compleja que queremos descomponer, C* su conjugada traspuesta, y finalmente A y B son las matrices hermitiana y antihermitiana respectivamente en las que se descompone la matriz C.

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